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polynômes

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1

Présentation

polynômes, sommes algébriques de termes appelés monômes.

Un monôme est une expression de la forme axn, où a est un coefficient numérique, n un entier naturel, et x une variable. Un polynôme peut contenir une ou plusieurs variables. Par exemple, x5 + 2x2 + 3,1 est un polynôme de la variable x, alors que x5y2 + 3x2 + xy + y a pour variables x et y.

Le mot polynôme désigne en fait deux entités mathématiques distinctes : le polynôme formel et la fonction polynomiale. Cette dernière fournit la valeur prise par le polynôme lorsqu’on y remplace la variable x par une valeur numérique donnée. Le polynôme formel est, en revanche, une entité abstraite qui ne prend aucune valeur numérique particulière : dans ce cas, x est aussi appelée l’indéterminée du polynôme. L’étude préalable des polynômes formels permet de manipuler facilement les fonctions polynomiales associées.

On peut écrire un polynôme P de façon littérale. En effet, pour tout polynôme P, il existe par définition une suite finie (ak) et un entier naturel n tels que :

avec an ≠ 0. L’entier n est le degré du polynôme P.

2

Opérations sur les polynômes

2.1

Addition

La somme de deux polynômes s’effectue en additionnant les coefficients des termes polynomiaux de même degré. Considérons ainsi deux polynômes P et Q, de degrés respectifs p et q, et s’écrivant :

On suppose p ≥ q. Alors, la somme de P et Q est le polynôme :

Par exemple, si P = 3x3 + 2x2 + x et Q = x2 + x + 1,

alors P + Q = 3x3 + 3x2 + 2x + 1.

2.2

Multiplication

Pour effectuer le produit de deux polynômes P et Q, on applique le principe consistant à multiplier chacun des termes de P par chacun des termes de Q.

Ainsi, si P = 3x3 + 2x2 + x et Q = x2 + x + 1,

alors PQ = 3x3 (x2 + x + 1) + 2x2 (x2 + x + 1) +x (x2 + x + 1),

soit PQ = 3x5 + 3x4 + 3x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 +x3 + x2 + x.

À la suite de ces opérations, tous les termes de même degré doivent être regroupés afin de simplifier l’expression : PQ = 3x5 + 5x4 + 6x3 + 3x2 + x.

2.3

Factorisation d’un polynôme

Il est souvent utile de factoriser un polynôme, c’est-à-dire de l’exprimer sous forme d’un produit de polynômes de degrés inférieurs. Par exemple, 2x3 + 8x2y peut être factorisé en 2x2 (x + 4y). Un polynôme qui ne peut être factorisé en polynômes à coefficients réels (voir nombres) est appelé polynôme premier. Par exemple, x2 + x + 1 est un polynôme premier.

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