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We provide a new projective condition for a stationary real random field indexed by the lattice $\Z^d$ to be well approximated by an orthomartingale in the sense of Cairoli (1969). Ourmain result can be viewed as a multidimensional version of the martingale-coboundary decomposition method which the idea goes back to Gordin (1969). It is a powerfull tool for proving limit theorems or large deviations inequalities for stationary random fields when the corresponding result is valid for orthomartingales.
A multi-dimensional junction is the singular $d$-manifold obtained by gluying through their boundaries a finite number of copies of a half-hyperplane of $\mathbf{R}^{d+1}$. We show that the general theory developed by the authors (2013) for the network setting can be easily adapted to this multi-dimensional case. In particular, we prove that general junction conditions reduce to flux-limited ones and that uniqueness holds true when flux limiters are quasi-convex and continuous. The proof of the comparison principle relies on the construction of a (multi-dimensional) vertex test function.
We study Hamilton-Jacobi equations on networks in the case where Hamiltonians are quasi-convex with respect to the gradient variable and can be discontinuous with respect to the space variable at vertices. First, we prove that imposing a general vertex condition is equivalent to imposing a specific one which only depends on Hamiltonians and an additional free parameter, the flux limiter. Second, a general method for proving comparison principles is introduced. This method consists in constructing a vertex test function to be used in the doubling variable approach. With such a theory and such a method in hand, we present various applications, among which a very general existence and uniqueness result for quasi-convex Hamilton-Jacobi equations on networks.
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