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2.2.1 Rappel mono-variable: insuffisance des notions de marge de gain et de phase

Considérons la boucle générale d'asservissement présentée figure 2.2.

Figure 2.2: Boucle d'asservissement.
\includegraphics[width=10cm]{/alazard/enseignement/ENSAE3/representation/KGfeedback}

On définit le gain de boucle: $L(s)=G(s)K(s)$. La figure 2.2.1 rappelle la définition des marges de gain et de phase dans le plan de NYQUIST. Ces notions indiquent l'éloignement du tracé de $G(j\omega)K(j \omega)$ par rapport au point critique $(-1 , 0)$. On peut également les interpréter sur les diagrammes de BODE et de BLACK.

Figure 2.3: Marges de gain, de phase et de module dans le plan de NYQUIST.
\includegraphics[width=10cm]{/alazard/enseignement/ENSAE3/representation/ensta52}

Rappelons qu'il y a perte de stabilité lorsque ce tracé traverse le point critique. La marge de gain en dB est:

\begin{displaymath}
\mbox {marge de gain} = -
20 \: \log_{10} \: \vert G(j\omega_p)K(j \omega_p)\vert \end{displaymath} (2.1)

$\omega_p$ est la pulsation à laquelle le tracé de NYQUIST traverse le demi-axe de phase $180^\circ$ (phase crossover). Elle mesure de combien le gain peut varier à cet endroit avant de toucher le point critique. La marge de phase est:
\begin{displaymath}
\mbox {marge de phase} = Arg (G(j\omega_c)K(j \omega_c)) -
180^\circ \end{displaymath} (2.2)

$\omega_c$ est la pulsation à laquelle le tracé de NYQUIST traverse le cercle unité centré à l'origine (pulsation de coupure). Elle mesure de combien la phase peut varier (rotation du tracé autour de l'origine) avant de rencontrer le point critique.

Enfin la marge de retard est liée à la marge de phase exprimée en degré par la relation :

\begin{displaymath}
\mbox {marge de retard} =
\mbox{marge de phase} \frac{\pi}{180\omega_c} \end{displaymath} (2.3)

Elle mesure la valeur minimale du retard pur introduit dans la boucle qui déstabilise le système. Cette marge est particulièrement pertinente lorsque le lieu de NYQUIST traverse plusieurs fois le cercle unité. C'est souvent le cas des structures flexibles où la présence de résonances et anti-résonances se traduisent par des boucles sur le lieu de NYQUIST. La marge de retard permet alors de mettre en évidence qu'une marge de phase même confortable peut être critique si la pulsation $\omega_c$ correspondante est élevée.

En comparaison, la marge de module représente la plus petite distance de $L(j\omega)$ au point critique et correspond donc au rayon $r$ du cercle centré sur le point critique qui tangente le courbe $L(j\omega)$:

\begin{displaymath}
r=\min_{\omega}\vert 1+G(j\omega)K(j\omega)\vert
\end{displaymath}

La figure 2.7 met en évidence un cas particulier où les marges de gain et de phase sont confortables mais la marge de module trop faible.


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alazard
2002-11-25